Основы современных компьютерных технологий


Преобразование и проекция изображений - часть 2


Наибольшее распространение получил метод однородных координат.

Основа этого метода состоит в том, что каждая точка в Л/-мерном пространстве может рассматриваться как проекция точки из (N+1)- мерного пространства. Так, точка в двухмерном пространстве представляется тремя составляющими х, у, w, где поможет принимать любое значение. Обычно используют w= 1, что соответствует нормализованным координатам (х, у, 1). Таким образом, при решении задач компьютерной графики одно-

370

родные координаты вводятся так, что произвольной точке М (х, у) ставится в соответствие точка М*(х, у, 1) (рис. 26.9).


Рис. 26.9. Однородные координаты точки М

Свойства однородных координат позволяют выражать с помощью одной матрицы все преобразования - повороты, растяжения, отражения и сдвиги, а так же любые их комбинации - в виде произведения матриц.

Для двухмерного случая компьютерной графики однородные координаты исходной точки М и преобразованной точки М* связаны между собой следующим соотношением:

[х* у* 1] = [x y 1]

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Основные преобразования выражаются с помощью соответствующих частных матриц: поворот на угол ?

[R] =

cos? sin ? 0
-sin ? cos? 0
0 0 1

растяжение вдоль координатных осей с коэффициентами ? и ?

[D] =

? 0 0
0 ? 0
0 0 1

отражение (относительно оси абсцисс)

[M]=

1 0 0
0 -1 0
0 0 1

371

перенос на вектор (?, ?)

[T]=

1 0 0
0 -1 0
? ? 1

При выполнении любого преобразования на плоскости оно разбивается на отдельные этапы, описываемые матрицами [R], [D], [M], [T].

Для случая трехмерной графики однородные координаты исходной точки М и преобразованной точки М* связаны между собой следующим соотношением:

[x* y* z* 1]=[x y z 1]

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44

При этом основные преобразования выражаются с помощью матриц следующим образом: Поворот на угол вокруг оси X

[Rx] =

1 0 0 0
0 cos ? sin ? 0
0 0 0 1
<


Начало  Назад  Вперед