Основы современных компьютерных технологий


Математические проблемы


Для решения математических задач создано множество библиотек и пакетов программ. Может показаться, что богатство математического программного обеспечения избавляет специалиста-прикладника от знания математики. Однако упомянутым богатством надо суметь воспользоваться, и ключом к нему является... знание математики. Ниже обсуждаются некоторые типичные затруднения с прикладной математикой - главным образом, с целью побудить читателя постоянно повышать свою математическую подготовку и активно ею пользоваться.

Влияние ограниченности разрядной сетки проявляется, например, при суммировании чисел одного знака (его надо начинать с малых по модулю слагаемых), при вычитании близких чисел, при рекуррентных вычислениях. В современных ЭВМ происходит не округление промежуточных результатов, а отбрасывание лишних разрядов, что усугубляет обсуждаемый эффект.

Полиномиальная интерполяция. Многие вычислительные проблемы упрощается при замене исходных функций полиномами. Но, согласно теореме Фабера, при любом интерполяционном массиве найдется непрерывная функция gи точка х из [a,b], для которых Рп(д:х) не сходится к g(х) при п > ?. Поэтому качество выбранной интерполяции необходимо оценивать.

Ускорение сходимости рядов. Некоторые ряды - в частности,

ln(1-x)=-[x+

x2
2
  +

x3
3
  ...].

сходятся чрезвычайно медленно. В таких случаях может помочь, например, преобразование Эйлера-Абеля.

Вычисление определенных интегралов. При использовании квадратурных формул возникает вопрос о выборе узлов, прогнозе точности и т.д. Любая попытка оценить сравнительные достоинства квадратурных формул связана с вопросами типа: "Что больше, h2f''(x) или h4 f''''(x)?" Ответ, разумеется, зависит от природы интегрируемой функции.

При неудачном расположении узлов квадратурная формула может дать сильно искаженные результаты - в особенности при наличии в интервале интегрирования большого числа нулей интегрируемой функции. Для сильно колеблющихся функций следует применять специальную технику интегрирования.


Начало  Назад  Вперед



Книжный магазин